汪仕骏——运用导数考察函数零点或图象交点问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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运用导数考察函数零点或图象交点问题

安徽池州         汪仕骏

零点问题看似简单，因为由零点存在性定理即可判定零点的存在。而在实际中，零点个数的确定确实比较复杂的，学者容易漏计。而零点个数的判断要深入细致的通过导数去考察区间上单调性情况，定性和定量，选择特殊值往往考察学者思维的缜密程度。不妨以3个例题，由浅入深引人入胜。

例2（2017年上海普陀一模）

例3（安徽省六校教育研究会2013届高三联考）

   总结与评析：连续函数零点的问题，一般是由f(x₁)f(x₂)<0，即可判断(x₁,x₂)区间上至少有一个零点，所以首先我们要对一些端点的函数值正负性进行定量或者定性判断。但至于是否只有一个零点，还要考察单调性，而单调性即通过导数来判断。而导数和0的关系有时候又不是显而易见的，对于三角函数、指数对数函数和幂函数混合便是不能直接看出，于是又要借助二阶导乃至高阶导。

    零点的问题又可以转化为交点问题，即求两个函数图象的交点问题。在这里，一般对两个函数的单调性进行考察，如果一增一减，那是比较简单的，而两者都增，或者都减，还要考虑其递增程度或递减程度，这又是看导函数的变化情况，而这里有时要借助二阶导工具。如果必须使用二阶导，则确实问题格外复杂。

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（20191018——20200618）